Geometría del plano y del espacio. Sistema de medida

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Bibliografía:

Blanco Ayllón, M. F. (2011). Geometría del plano y del espacio, sistemas de medida. Área Didáctica de la Matemática. Granada: Escuela Universitaria La Inmaculada.

 

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GEOMETRÍA DEL PLANO Y DEL ESPACIO.

SISTEMA DE MEDIDA

1. Conceptos del plano, recta, punto, semiplano, semirrecta, segmento y

ángulo.

Concepto Dibujo

Punto. Tiene posición pero no dimensión. Se

representa por la intersección de dos rectas.

Plano. Conjunto infinito de puntos. Superficie sin

aristas ni ondulaciones.

Línea recta. Subconjunto de infinitos puntos del

plano en la misma dirección. Es la sucesión de

puntos en la misma dirección.

Rectas paralelas. Líneas que están en el mismo plano

y que no se cortan.

Rectas perpendiculares. Son aquellas que al cortarse

forman cuatro ángulos rectos.

Semiplano. Es cada una de las dos partes que

resultan de dividir un plano con una recta.

Rectas secantes. Rectas que tienen un punto común.

Segmento. Es la parte de recta comprendida entre

dos de sus puntos. Se clasifican en: concatenados,

cuando cada uno tiene extremo común con el que le

sigue, y sucesivos, que son los segmentos

concatenados que están en la misma recta.

A

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2

Distancia entre dos puntos. Longitud del segmento

que los une.

Distancia de un punto a una recta. Longitud del

segmento que resulta de trazar una recta

perpendicular desde el punto a la recta.

Distancia entre dos rectas paralelas. Longitud de

segmento que resulta de trazar una recta

perpendicular común a las dos rectas y comprendida

entre ellas.

Mediatriz de un segmento. Recta perpendicular

trazada desde un punto exterior (al segmento) al

punto medio de dicho segmento.

Ángulo. Porción del plano limitada por dos

semirrectas de origen común.

Lados de un ángulo. Cada una de las semirrectas que

forma un ángulo.

Vértice. Es el punto común de los lados del ángulo.

2. Medida de ángulos. Operaciones con medidas de ángulos. Complementario

y suplementario.

Vértice

Lado del ángulo

Longitud

Recta 2

Recta 1

A

Recta

Longitud

A

Longitud

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3

Concepto Dibujo

Ángulo llano. Son aquellos ángulos cuyos lados en

prolongación están en la misma recta que abarcan un

semiplano. Sus lados son semirrectas opuestas

contenidas en la misma recta. Mide 180º.

Ángulo recto (AOB). Lo forman dos rectas cuando

se cortan perpendicularmente. Mide 90 º y es igual a

su adyacente, por tanto el ángulo recto es cada uno

de los dos ángulos adyacentes iguales.

Ángulo agudo (COD). El ángulo menos abierto que

el recto. Ángulo que mide más de 0º y menos de 90º.

Ángulo obtuso (EOF). Ángulo más abierto que el

recto y menos que el llano. Ángulo que mide más de

90 grados y menos de 180 grados.

Ángulo convexo (COD). Ángulo cuyos lados están

menos abiertos que los de un llano.

Ángulo cóncavo (COD). Ángulo cuyos lados están

más abiertos que los de un llano.

Ángulo nulo (COD). Ángulo convexo cuyos lados

Ángulo completo (COD). Ángulo cóncavo cuyos

lados coinciden

Ángulos consecutivos (AOB y BOC). Son los

ángulos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes (AOB y BOC). Son ángulos

consecutivos (mismo vértice y un lado común)

cuyos lados no comunes están en la misma recta.

Sumados forman un ángulo de 180º.

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4

Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos no

adyacentes formados por dos líneas que se

intersecan. Los ángulos opuestos por el vértice son

iguales. Los lados de uno son la prolongación de los

lados del otro.

Ángulos complementarios. Son dos ángulos que

suman un recto.

Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que

suman dos rectos o un ángulo llano.

Ángulos alternos externos. Son ángulos no

consecutivos ni adyacentes que resultan de cortar

dos rectas por medio de una secante y que quedan en

su parte exterior (1 y 8; 7 y 2).

Ángulos alternos internos. Son ángulos no

adyacentes que resultan de cortar dos rectas por una

secante y que quedan en su parte interior (3 y 6; 5 y

4).

Ángulos iguales. Son aquellos ángulos que

superpuestos coinciden.

Bisectriz de un ángulo. Es la recta que pasa por el

vértice del ángulo y forma con los lados dos ángulos

Grado. Son las unidades que se utilizan para medir

ángulos.

Grado sexagesimal. Es la medida que resulta de

dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Se

representa con 1º.

Minuto sexagesimal. Es la medida que resulta de

dividir un grado sexagesimal en 60 partes iguales. 1º

= 60′.

Segundo sexagesimal. Es la medida que resulta de

dividir un minuto sexagesimal en 60 partes iguales.

Se representa 1′ = 60”.

1 2

3 4

5 6

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5

3. Concepto de polígono. Polígonos regulares. Clasificación.

Concepto Dibujo

Línea poligonal. Línea formada por varios

segmentos concatenados que tienen como origen el

extremo del segmento anterior.

Línea poligonal abierta. Línea formada por varios

segmentos en el que el primero y el último no llegan

a unirse.

Línea poligonal cerrada. Línea formada por varios

segmentos los cuales se unen limitando al polígono.

No hay extremos.

Polígono. Figura plana limitada por una línea

poligonal cerrada.

Los polígonos de acuerdo al número de lados se

clasifican en:

Suma de ángulos. Para sumar dos ángulos: Los

ponemos consecutivos y el ángulo suma es el

determinado por los lados no comunes. Sumamos la

amplitud de los ángulos. AOB + BOC = AOC

Resta de ángulos. Para restar dos ángulos: Los

superponemos a partir de un lado común y el ángulo

diferencia es el determinado por los lados no

comunes. Restamos la amplitud de los grados de los

ángulos que nos dan. AOB – AOC = COB

Multiplicación de un ángulo por un número. Al

multiplicar un ángulo por un número, obtenemos

otro de amplitud, el producto del número por la

amplitud del ángulo dado.

División de un ángulo por un número. El cociente de

un ángulo por un número se obtiene dividiendo la

amplitud del ángulo dado por el número.

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6

– polígonos de 3 lados se llaman Triángulos.

– polígonos de 4 lados se llaman Cuadriláteros.

– polígonos de 5 lados se llaman Pentágono.

– polígonos de 6 lados se llaman Hexágonos.

– polígonos de 7 lados se llaman Heptágonos.

– polígonos de 8 lados se llaman Octágonos.

– polígonos de 9 lados se llaman Eneágonos.

– polígonos de 10 lados se llaman Decágonos.

– polígonos de 12 lados se llaman Dodecágonos.

– polígonos de 20 lados se llaman Icoságonos

Un polígono es equilátero si sus lados son iguales.

Un polígono es equiángulo si los ángulos son

Un polígono es regular si es equiángulo y

equilátero.

Polígono regular. Polígono que tiene los lados y los

ángulos iguales.

Polígono irregular. Tiene al menos dos lados o dos

ángulos desiguales.

Polígono convexo. Es el que tiene todos sus ángulos

convexos. Todos los ángulos interiores son menores

de 180º. Al unir dos puntos cualesquiera del

polígono el segmento que resulta es siempre interior

al mismo.

Polígono no convexo (Cóncavo). Es el que tiene

algún ángulo cóncavo Es el polígono con al menos

un ángulo interior mayor de 180º. Podemos

encontrar dos puntos del polígono quedando en su

exterior parte del segmento que los une.

Lado de un polígono. Cada uno de los segmentos

que forman o delimitan un polígono. lado

A

B

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7

Vértice de un polígono. Es cada uno de los puntos

donde se unen dos lados de un polígono.

Centro de un polígono regular. Punto que está a

igual distancia de los vértices del polígono.

Radio de un polígono regular. Es el segmento que

une el centro del polígono con alguno de sus

vértices. Lo es también de la circunferencia

Apotema de un polígono regular. Segmento que une

el centro del polígono con el punto medio de alguno

de los lados. Es perpendicular al mismo. Es el radio

de la circunferencia inscrita.

Área de un polígono regular.

Área del triángulo AOB = (1 x a) / 2

Área del polígono = Área del triángulo AOB

multiplicado por el número de lados

Es la mitad del producto de su perímetro por la

longitud de su apotema A = p x a / 2

Ángulo central de un polígono regular. Es el ángulo

de vértice el centro del polígono y lados dos radios

consecutivos del polígono. (AOB)

Mide 360/n, siendo n el número de lados del

polígono

Ángulo interior de un polígono. Es un ángulo

interior al polígono y formado por dos lados

consecutivos (ABC)

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Ángulo exterior de un polígono. Es el ángulo

exterior al polígono formado por un lado y la

prolongación de otro consecutivo

Perímetro de un polígono. Suma de las longitudes

los lados de un polígono Perímetro = Long 1 + Long 2 + … longN

Diagonal de un polígono. Es el segmento que une

dos vértices no consecutivos del polígono

Número de diagonales de un polígono: n x (n – 3) /

2; donde n es el número de lados del polígono.

Igualdad de polígonos. Dos polígonos son iguales

cuando superpuestos coinciden.

Polígonos equivalentes. Son polígonos que tienen

igual área pero no necesariamente la misma forma.

Polígonos semejantes. Son aquellos que tienen

ángulos iguales y lados proporcionales.

Suma de ángulos interiores de un polígono convexo.

Suma = 180º (n – 2 ); n = número de lados

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es

180 º

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero

de 360 º

Suma = 180º (n – 2 )

n = número de lados

Valor en los ángulos interiores de un polígono

180º (n – 2 )/n; n = número de lados

Valor de un ángulo interior de un triángulo es 60º

Valor de un ángulo interior de un cuadrado es 90º

Valor de un ángulo interior de un pentágono regular

es 108º

Valor del ángulo central de un pentágono regular

360/5 = 72º

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es

360 º

180º (n – 2 )/n

n = número de lados

Clasificación de los Triángulos

2

2

1

2 4

4

5 x (5 – 3)

= 5

2

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Triángulo. Polígono que tiene tres lados.

Según sus lados:

Triángulo equilátero. Triángulo que tiene sus tres

lados y ángulos iguales.

Triángulo isósceles. Triángulo que tiene sólo dos

lados y dos ángulos iguales, y un ángulo y un lado

Triángulo escaleno. Triángulo que no tiene ningún

lado y ningún ángulo igual.

Según sus ángulos:

Triángulo rectángulo. Triángulo que tiene un ángulo

interior recto. Puede ser isósceles o escaleno pero

nunca equilátero.

Triángulo acutángulo. Triángulo que tiene los tres

ángulos interiores agudos. Puede ser equilátero,

isósceles o escaleno.

Triángulo obtusángulo. Triángulo que tiene un

ángulo interior obtuso. Puede ser isósceles o

escaleno, pero nunca equilátero.

Elementos Notables de un triángulo:

Incentro. Es el punto de intersección de las tres

bisectrices de un triángulo. Equidista de los tres

lados, por lo que es el centro de la circunferencia

inscrita, tangente a los tres lados.

Mediana de un triángulo. Es el segmento que va de

un vértice al punto medio del lado opuesto.

Catetos

Hipotenusa

Catetos

Hipotenusa

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10

Baricentro. Punto de intersección de las tres

Altura de un triángulo. Segmento que va

perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto

o a su prolongación.

Ortocentro. Es el punto de intersección de las tres

Mediatriz de un lado de un triángulo. Es la línea

perpendicular en el punto medio del lado.

Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres

mediatrices de un triángulo. Es el centro de la

circunferencia circunscrita que pasa por los tres

vértices del triángulo.

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María

Triángulos Congruentes

Dos o más triángulos son congruentes cuando

superpuestos coinciden en sus tres lados y sus tres

ángulos.

Se puede determinar la congruencia de dos

triángulos si cumplen con cualquiera de los

siguientes criterios:

– Dos triángulos son congruentes si son congruentes

dos lados y el ángulo comprendido (LAL)

– Si son congruentes dos ángulos y el lado

comprendido (ALA)

– Si los tres lados son congruentes, (LLL)

– Si son respectivamente congruentes un lado, un

ángulo adyacente a él y el lado opuesto

– Si son congruentes dos lados y el ángulo opuesto al

mayor de éstos.

– Los triángulos rectángulos son congruentes, si

tienen congruentes la hipotenusa y un cateto o la

hipotenusa y un ángulo agudo.

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12

Triángulos Semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son congruentes y

sus lados homólogos son proporcionales entre sí. Es decir los

triángulos semejantes tienen la misma forma pero diferente tamaño.

Por esta definición tenemos que:

– Dos triángulos congruentes son también

– Dos triángulos semejantes a un tercero, son

semejantes entre sí.

– Dos triángulos son semejantes, si tienen sus

lados ordenadamente paralelos o

Para determinar si dos triángulos son

semejantes, se consideran los siguientes

criterios:

– Que dos ángulos de uno sean iguales o

congruentes a dos ángulos del otro.

– Que dos lados del uno sean proporcionales a

dos lados del otro y los ángulos comprendidos

iguales o congruentes.

– Que los tres lados del uno sean proporcionales

a los tres lados del otro.

Clasificación de los cuadriláteros convexos:

Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados.

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14

Pentágono. Polígono de cinco lados.

Hexágono. Polígono de seis lados.

Heptágono. Polígono de siete lados.

Octógono. Polígono de ocho lados.

Eneágono. Polígono de nueve lados.

Decágono. Polígono de diez lados.

Endecágono. Polígono de once lados.

Dodecágono. Polígono de doce lados.

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15

Pentedecágono. Polígono de 15 lados.

Icodecágono o Icosógono. Polígono de veinte lados.

4. Medidas de superficie.

5. Área del polígono.

El área es la medida de la superficie de los polígonos. Esta área se expresa en función

de la medida de los lados, las alturas o las diagonales, según el tipo de cuadrilátero.

Área de polígonos regulares:

El área del polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema. Para

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16

sacar el área de los polígonos regulares se necesitan las siguientes fórmulas para las

diferentes figuras:

Área del Cuadrado: Es igual al producto de sus lados o lado al cuadrado.

A = l x l o A = l2

Área del Rectángulo: Es igual al producto de la base por altura.

A = b x h

Área del Triángulo: Es igual a la mitad del producto de la base por la altura.

A = b x h

2

Área del Trapecio: Es igual a la semisuma de las bases multiplicado por la altura

A = B x b x h

2

Área del Rombo: Es igual al semiproducto de la diagonal mayor por la diagonal

menor

A = D x d

2

Área de la Circunferencia: Es igual al cuadrado del radio multiplicado por el valor de

PI (Π = 3,141516)

A = r2 x Π

Área de un Polígono: Es igual al semiproducto del perímetro por el apotema.

A = p x ap = 1/2(n x l x ap)

2

Nota: n, es el número de lados del polígono

Apotema: La apotema es el segmento que va desde el centro del polígono a la mitad de

un lado.

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18

Por ejemplo, sacar el perímetro de una estrella de cinco picos con 57 cm.

6. Circunferencia. Longitud de una circunferencia. Área del círculo.

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Concepto Dibujo

Circunferencia. Lugar geométrico de los puntos del

plano que equidistan de uno interior llamado centro.

Centro de una circunferencia. Punto interior del cual

equidistan todos los puntos de la circunferencia (O).

Radio de una circunferencia. Es el segmento que une

el centro de una circunferencia con cualquier punto

de la misma (O A).

Diámetro de una circunferencia. Es el segmento que

une dos puntos de la circunferencia pasando por el

centro. Equivale a dos radios.

Cuerda. Es el segmento que une dos puntos

cualesquiera de la circunferencia.

Arco de circunferencia. Porción de la circunferencia

limitada por dos de sus puntos.

Semicircunferencia. Cada uno de los arcos en que

queda dividida la circunferencia por un diámetro.

Recta exterior a una circunferencia. Cuando la recta

y la circunferencia no tienen ningún punto en

común.

Recta tangente a la circunferencia. Cuando la recta y

la circunferencia tienen un punto en común.

Recta secante a la circunferencia. Cuando la recta

tiene dos puntos en común con la circunferencia. La

distancia del centro a la recta es menor que el radio.

Circunferencias exteriores. Cuando todos los puntos

de cada una de las circunferencias son exteriores a la

Circunferencia interior. Cuando todos los puntos de

una circunferencia son interiores a la otra.

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Ángulo Semiinscrito. Tiene su vértice en la

circunferencia, un lado es una cuerda y el otro lado

es una tangente a la circunferencia. Mide la mitad

del arco que abarca.

Ángulo Interior. Tiene el vértice en un punto del

círculo y mide la semisuma de los arcos

comprendidos entre sus lados y las prolongaciones.

Ángulo Exterior. Aquel que tiene su vértice fuera de

la circunferencia y sus lados son secantes. Mide la

semidiferencia de los arcos que abarca.

Longitud de la circunferencia. L = 2 π r. L = 2 π r

El número Pi (π). Es el número de veces que la

circunferencia contiene su diámetro. Π = L / 2r = L / d

Polígono inscrito en una circunferencia. Cuando

todos los vértices del polígono pertenecen a la

circunferencia. Sus lados son cuerdas de esa

circunferencia. La circunferencia se dice circunscrita

al polígono.

Todo polígono regular puede ser inscrito en una

Polígono circunscrito a una circunferencia. Cuando

todos sus vértices son puntos de la circunferencia y

todos los lados del polígono son tangentes a la

circunferencia. La circunferencia estará inscrita en el

polígono.

β

b

a β =

a + b

2

a

b

α

α =

a + b

2

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22

Los polígonos regulares tienen una única

circunferencia inscrita y otra circunscrita, y ambas

son concéntricas. El centro de ambas circunferencias

se llama centro del polígono regular.

Procedimiento para inscribir un polígono regular

en una circunferencia:

1. Con la ayuda de un compás, trazamos una

circunferencia y denotamos el centro con la letra ”

o”.

2. Dividimos la medida de la circunferencia (360°)

entre el número de lados del polígono que vamos a

elaborar. En este caso construiremos un hexágono

regular, que dividimos entre 6. Ejemplo: 360 ÷ 6 =

60°

3. Con el graduador, construimos el ángulo de 360/6

= 60°.

4. Utilizamos una regla, trazamos un segmento entre

los puntos A y B.

5. Con abertura del compás igual a la longitud del

segmento AB, determinamos los puntos C, D, y E.

6. Unimos con una regla los puntos A, B, C, D y E;

y como resultado obtenemos un pentágono regular

inscrito en una circunferencia.

Longitud de un arco de circunferencia.

(2 π r) x n / 360; n = número de grados que abarca el

(2 π r) x n / 360

Círculo (Definición y área). Conjunto de puntos del

plano limitados por una circunferencia. La distancia

de cualquier punto del círculo al centro de la

circunferencia es inferior al radio de la misma.

A = π r 2

Semicírculo. Es cada una de los partes en las que

queda dividido un círculo por un diámetro.

Semicírculo

Semicírculo

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Longitud de la circunferencia y el número “pi”

Analiza la siguiente actividad: Jorge traza en el patio una

circunferencia que tiene un diámetro de 2m y la cubre totalmente

con una cuerda.

Jorge, luego de cubrir y medir el largo de la cuerda (6,26 metros),

se da cuenta que necesitó 3 veces y un poco más la longitud del

diámetro; es decir 6 metros y 28 centímetros (6,28).

Sector circular. Es la parte del círculo comprendida

entre dos radios y el arco que abarcan. Dos radios

dividen al círculo en dos sectores circulares.

Segmento circular (Definición y área). Parte del

círculo comprendido entre una cuerda y su arco. Una

cuerda limita dos segmentos circulares.

Corona circular (Definición y área). Es la porción de

círculo comprendido entre dos circunferencias

concéntricas.

ZONA CIRCULAR: Es la zona del círculo limitada

por dos secantes.

Trapecio circular (Definición y área). Es la parte de

corona circular comprendida en un ángulo central.

Corona

circular

Segmento

circular

Sector

circular

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Si dividimos 6,28 m para 2m del diámetro obtenemos como

cociente 3,14 m.

Como la longitud de cualquier circunferencia siempre va a ser igual

a 3 veces y un poco más el valor de su diámetro, el valor de 3,14 en

matemática se designa con la letra griega “pi” (observa el gráfico

que sigue).

Si: LC = Longitud de la circunferencia y d = diámetro; entonces la

longitud de la circunferencia es igual a diámetro por pi.

Además sabemos que el diámetro de la circunferencia es igual a 2

veces el radio, entonces podemos decir que la longitud de la

circunferencia es igual a 2 por radio por pi.

RECUERDA:

El valor de “Pi” (3,14) representa a 3 veces y un poco más la

longitud del diámetro de una circunferencia.

Calculemos la longitud de una circunferencia cuyo diámetro es 6

metros y de una circunferencia cuyo radio es 6 metros.

Observa en la gráfica siguiente como lo hacemos:

Área del círculo

Si tenemos una circunferencia de radio 2 cm. y trazamos una cuadrícula con cuadros de

1 cm, veremos que existen 12 cuadros aproximadamente en la zona circular.

Este número de cuadros representa el área por lo tanto, el área del círculo es igual al

producto del radio al cuadrado del círculo por “pi”

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Si tenemos una circunferencia de radio 2 cm podemos calcular su área elevando al

cuadrado el radio y multiplicándolo por el valor de pi (3,14). Observa el siguiente

gráfico.

7. Poliedros. Prisma. Pirámide. Cilindro. Cono. Esfera. Áreas y volúmenes.

El cubo, los volúmenes prismáticos, el tetraedro y las pirámides han sido admirados

desde antiguo por la perfección de su geometría y por su atractivo estético. Todos ellos

son formas singulares de una familia general de formas en el espacio llamadas

Si analizamos las características de los siguientes sólidos geométricos se puede observar

que todas las caras de estos sólidos o cuerpos geométricos son planas; por ellos se

llaman poliedros.

Un poliedro es un sólido geométrico que tiene solo caras planas.

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Clasifiquemos a los poliedros e identifiquemos sus elementos principales:

Todo poliedro que tiene dos bases paralelas formadas por figuras iguales se llaman

Todo poliedro que tiene una base, sus caras laterales son triángulos y terminan en punta

se llaman pirámides. Por tanto:

Prisma: poliedro que tiene 2 bases iguales y paralelas.

Pirámides: poliedro que tienen 1 base, sus caras laterales son triángulos y terminan en

Elementos de los poliedros

Los poliedros son figuras geométricas cerradas en el espacio delimitadas por cuatro o

más polígonos planos. En un poliedro se distinguen los siguientes elementos:

 Las caras: cada uno de los polígonos que lo delimitan.

 Las aristas: rectas en las que confluyen dos caras adyacentes.

 Los vértices: puntos de intersección entre las aristas.

 Los ángulos poliedros: formados por tres o más caras, con un vértice común.

 Las diagonales: rectas trazadas entre dos vértices de distintas caras.

Número de aristas de un poliedro según la fórmula de Euler Venn

Para calcular el número de aristas de cualquier poliedro, sumamos

el número de caras más el número de vértices y al final restamos 2.

Por ejemplo: el número de aristas que tiene un cubo es igual a 12.

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La fórmula para calcular el número de aristas de un poliedro se

denomina Fórmula de Euler Venn en honor del descubridor de esta

relación.

Según el número de caras, los poliedros se denominan tetraedros (4 caras), pentaedros

(5), hexaedros (6), heptaedros (7), octaedros (8), dodecaedros (12), icosaedros (20),

etcétera.

Sólo existen cinco poliedros regulares, cuyas caras son polígonos regulares e iguales:

tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro regulares.

Ejemplos de poliedros. De izquierda a derecha: cubo, tetraedro, hexaedro no

regular, dodecaedro y prisma oblicuo.

Clasificación de poliedros regulares

Tetraedro

Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.

Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.

Es una pirámide triangular regular.

Hexaedro o cubo

Su superficie está constituida por 6 cuadrados.

Tiene 8 vértices y 12 aristas.

Es un prisma cuadrangular regular.

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Octaedro

Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.

Tiene 6 vértices y 12 aristas.

Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de

dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

Dodecaedro

Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.

Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Icosaedro

Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.

Tiene 12 vértices y 30 aristas.

Prisma

El prisma regular es un cuerpo

geométrico limitado por 2 polígonos regulares, llamados

bases, y por tantos rectángulos como lados tenga la base.

Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de

la base. (Ejemplo: Prisma pentagonal).

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Área lateral: es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h)

del prisma.

AL = P · h

Área total: es igual al área lateral más el área de los polígonos de las 2 bases.

AT = AL + 2 · Ab

Volumen: es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura del prisma.

V = Ab · h

PIRÁMIDE

La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por

un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos

como lados tenga la base.

Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del

polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).

Área lateral: es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura

de una cara lateral (a) de la pirámide y dividido entre 2.

AL = P · a / 2

Área total: es igual al área lateral más el área del polígono de la base.

AT = AL + Ab

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Volumen: es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) de la

pirámide y dividido entre 3.

V = Ab · h / 3

CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo

al girar en torno a uno de sus lados.

Área lateral: es igual a 2 multiplicado por r por π ( pi ), el resultado multiplicado por

el radio de la base (B) y multiplicado por la generatriz ( g ) del cilindro.

AL = 2 · π · r · g

Área total: es igual al área lateral más las áreas de los dos círculos de las bases.

AT = AL + 2 · Ab

Volumen: es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del

V = Ab · h

CONO

El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo

rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver

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revolución cono.

Área lateral: es igual a π (pi) multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado

por la generatriz (g) del cono.

AL = π · r · g

Área total: es igual al área lateral más el área del círculo de la base.

AT = AL + Ab

Volumen: es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del cono

y dividido entre 3

V = Ab · h/ 3

ESFERA

La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una

semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Área: es igual a 4 multiplicado por π (pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado

del radio de la esfera.

A = 4 · π · r2

Volumen: es igual a 4 multiplicado por π (pi), el resultado se multiplica por el cubo del

radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3.

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32

V = 4/3 · π · r3

8. Transformaciones Geométricas

Las transformaciones geométricas son aplicaciones que hacen corresponder unos puntos

en el plano con otros para obtener otra figura es decir, es la aplicación que hace

pertenecer a cada punto del plano otro punto del plano.

Las transformaciones más comunes son las simetrías, traslaciones, rotaciones y las

homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el

tamaño y cambiar la figura de posición.

Simetría

La simetría geométrica es la propiedad de un objeto que se presenta cuando las

características de forma, tamaño y posición relativa de sus partes, son las mismas en

ambos lados de una línea divisora equidistante imaginaria llamada eje de simetría.

Simetría de rotación

Una figura tiene simetría de rotación n veces si puede rotarse grados alrededor de un

punto (donde n es un entero positivo) de modo que la imagen resultante coincida con la

figura original

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Simetría de traslación

Una figura presenta simetría de traslación si puede trasladarse de modo que la imagen

coincida con la figura original. Las figuras con simetría de traslación necesariamente se

repiten de forma infinita; sólo es posible representar una parte finita de la figura.

La traslación es un movimiento que no altera ni el tamaño ni la forma ni la orientación

de las figuras.

Tipos de simetrías

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Simetrías axiales.-

Dos figuras son simétricas cuando al doblar por su eje de simetría coinciden en todos

sus puntos.

Dos figuras son simétricas respecto a un eje (llamado eje de simetría) si los puntos

homólogos están a la misma distancia del eje y la recta que los une es perpendicular a

él.

La simetría axial es un movimiento que no altera ni el tamaño ni la forma de las figuras.

Observaciones:

 El simétrico de un punto que pertenece al eje de simetría es el mismo punto.

 El simétrico de un segmento que pertenece al eje de simetría es el mismo

 Cuando le aplicamos a una figura dos simetrías axiales de ejes paralelos se ha

efectuado una traslación.

 Cuando le aplicamos a una figura dos simetrías axiales de ejes no paralelos (se

cortan en un punto) se ha efectuado un giro.

simetría axial

Simetrías centrales.-

Dos figuras son simétricas respecto a un punto, llamado centro de simetría si sus puntos

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homólogos equidistan al centro y están en línea recta con él.

Figuras simétricas

Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría

transforma a la figura en ella misma.

El eje de simetría de una figura es una recta que divide a la figura en dos partes

iguales, de tal manera que los puntos situados en una parte de la recta tengan su

simétrico en la otra.

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Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un

cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de

simetría).

9. Medidas de superficie.

La unidad principal de medida es el metro cuadrado.

Medidas de superficie

El punto del tema tiene una importante aplicación en la medición de espacios, de

figuras, entre otros. Hemos de saber utilizar la unidad de superficie del Sistema

Internacional junto con sus múltiplos y submúltiplos.

Por ejemplo, si un agricultor que quiera comprar o vender un terreno necesita conocer la

superficie del terreno, o igual si queremos saber la medida de nuestro salón de clase.

Si cercamos un terreno, la cerca representa el perímetro del mismo, y el espacio

interior es la superficie del terreno.

Metro cuadrado

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La unidad de las medidas de superficie en el Sistema Internacional

de Medidas es el metro cuadrado, que es un cuadrado cuyo lado

mide un metro.

Las medidas de superficie tienen dos dimensiones: largo y ancho,

por lo que si multiplicamos 1 metro de largo por 1 metro de ancho

tendremos como resultado 1 metro cuadrado.

El símbolo del metro cuadrado es m2

Múltiplos

Son unidades de superficie mayores que el metro cuadrado; y son el decámetro

cuadrado (dam2), el hectómetro cuadrado (hm2) y el kilómetro cuadrado (km2).

Si multiplicamos 1 decámetro de largo (10 m) x 1 decámetro de ancho (10 m)

obtenemos un decámetro cuadrado (10 m X 10 m = 100 m2)

Si multiplicamos 1 hectómetro de largo (100 m) x 1 hectómetro de ancho (100 m)

obtenemos un hectómetro cuadrado (100 m X 100 m = 10000 m2)

Si multiplicamos 1 kilómetro de largo (1000 m) x 1 kilómetro de ancho (1000 m)

obtenemos un kilómetro cuadrado (1000 m X 1000 m = 1000000 m2)

Submúltiplos

Son unidades de superficie menores que el metro cuadrado; y son el decímetro

cuadrado dm2, el centímetro cuadrado cm2 y el milímetro cuadrado mm2.

Si multiplicamos 1 decímetro de largo (0,1 m) x 1 decímetro de ancho (0,1 m)

obtenemos un decímetro cuadrado (0,1 m X 0,1 m = 0,01 m2)

Si multiplicamos 1 centímetro de largo (0,01 m) x 1 centímetro de ancho (0,01 m)

obtenemos un centímetro cuadrado (0,01 m X 0,01 m = 0,0001 m2)

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Diocesana de Magisterio

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ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA

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Si multiplicamos 1 milímetro de largo (0,001 m) x 1 milímetro de ancho (0,001)

obtenemos un milímetro cuadrado (0,001 m X 0,001 m = 0,000001 m2)

Medidas agrarias

Para medir terrenos se han usado diversas unidades tales como el

área, la hectárea, la cuadra, y otras de acuerdo al país, época o

sistema de medida. En nuestro país se utiliza la cuadra y la hectárea

como unidades comunes.

Vamos a conocer una unidad que no pertenece al Sistema

Internacional de Medidas conocida como Área y su múltiplo la

Hectárea.

Cuando en un terreno marcamos un cuadrado de 10 m de lado,

estamos señalando la unidad agraria conocida como Área.

Así tenemos que 1 área equivale a 100 m2 o 1 dam2.

Un múltiplo del área muy utilizado es la hectárea (ha) que equivale

a 100 áreas.

Una hectárea en el Sistema Internacional de Medidas equivale a un

hectómetro cuadrado (1 hm2) o 10000 m2.

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